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第103章 疯狂的数学菜鸟（第5页）

所以这类问题的研究目标其实只有一个，尽量简化寻找有理数点的过程，并能很轻松的找到其有理数点的分布。相当于给定一个高次的丢番图方程，能快速判定是否有解，并将这类方程解出来。

好吧，总之乔喻是这样理解的。

这就是一个数学门外汉的认知了，如果此时老薛在这里，听完乔喻的想法，大概会想直接把这个不知道天高地厚的家伙揍一顿。原因也很简单，研究目标简直太扯了。

简化寻找有理点的过程，但是想要轻松地找到有理点的分布在高维代数簇上几乎就是不可能的，这是数学常识。现在大家做的无非是过几何和代数工具高效估计有理点的数量，并通过现代代数几何工具理解它们的分布情况而已。

至于快速求解丢番图方程？

椭圆曲线的求解，或者模形式相关的更复杂的方程即便判定了有解，但真想解出来，老薛也只能说呵呵了。

当然这些对于乔喻这个对数学本就还没有太多敬畏之心的门外汉来说都不是问题，加上昨天他刚刚学习了彼得·舒尔茨的数学思想，一个很大胆的想法，突然就从乔喻脑子里冒了出来，且一发不可收拾。

为什麽他不能尝试用彼得·舒尔茨创造的理论来解决这一类问题呢？

先不管行不行，可以尝试着把完备空间引入其中，没有合适的工具来处理类似问题，但他也可以自己来创造嘛。

虽然这是人家搭建的框架，但只要在这个框架内，符合这个框架的规则，来进行工具创造，只要能解决问题，肯定也是可行的。那麽现在摆在乔喻面前的问题就很简单了，如何把有代数曲线有理数点上界估计这个问题，引入到似完备空间理论的框架中来？初生牛犊不怕虎的乔喻坐在桌前陷入了沉思。

一支笔也开始在稿纸上乱画起来。好吧。。。

这个问题似乎不那麽简单，主要是问题的转化。

想了很久，乔喻得出了一个结论，如果可以把有理数点上界估计转化为在完备几何对象上的同调和几何性质的问题，那麽就可以顺理成章的使用p进几何的深层工具，例如完备代数空间丶模形式的几何化丶以及p进同调理论，来分析这些有理数点。

就是不知道这样转化的话，会不会让问题变得更加抽象和复杂了。

但不要紧，反正他就是个小卡拉米，他就是玩而已。试试又不要钱的？于是很快乔喻就兴致勃勃的在稿纸上写下了这麽一段话：

「设X是一个定义在数域K上的高维代数曲线，且X是p进完备代数空间中的闭子集。则存在一个依赖于曲线X的几何性质的常数C，使得曲线上有理点的个数满足：N（X）≤C。」很自然的，N（X）表示曲线X上有理点的个数。

只是刚刚乔喻大脑里产生的直觉，一定会有这样一个常数C。原因很复杂，这跟曲线在完备空间下的几何构型有关，需要对彼得舒尔茨的理论有所了解，才能看懂这个命题。现在他需要做的第一步就是先把这个命题给证明了。

因为只要证明了真有这个常数C的存在，这个结论就将为复杂高维代数曲线上的有理点数量的上界估计提供扎实的理论依据。证明了第一步之后，就是找到这个常数C的公式，并证明这个公式正确的。

然后——问题解决！

不过当乔喻满怀壮志的准备证明这个命题的时候，突然觉得他提出的这个问题好像有那麽点无从下手。

他似乎陷入了把大象放入冰箱需要几步的怪圈。

第一步，打开冰箱门，第二步，把大象放进去，第三步，关冰箱门。唯一的问题是，他好像还没找到有大象那麽大的冰箱！

尤其是乔喻突然发现，即便这个常数C公式真的存在，那它将不仅依赖于曲线的几何性质，还可能依赖于数域K的特性丶曲线的模形式结构甚至其他代数几何工具。因为他绞尽脑汁之后，乔喻发现现有的代数几何工具，似乎并不支持能把这个C给找到。

如果换了一个正常数学人大概这个时候就会选择放弃了，但乔喻不太一样，他只是一个数学菜鸟，而且已经把这项挑战当成了一个游戏。虽然没有头绪，但万一成功了？

而且还是那句话，没有工具，完全可以自己造嘛。

想当年彼得舒尔茨才21岁，就能生造出一套如此牛逼的理论框架来，没道理他十五岁，就不能创造出几个能用的数学工具了，更别提整个理论框架都是人家提供的，他只需要在框架下进行二次创造，难度明显小的多。

毕竟规则都已经摆在那里，他只需要在这个框架规则的限定下，通过严谨的数学逻辑证明他的工具没错就够了。所以接下来的工作又能进一步简化了，什麽样的代数几何工具能帮他证明这个常数C存在。

乔喻愁眉苦脸的想了很久，然后再次确定了，首先他需要一个新的同调范畴工具。于是稿纸上又出现了一排字迹：

「同调范畴QH（Cp）是一个增强的同调范畴，定义在代数曲线Cp的完备化空间上。其基本对象是传统同调类H^i（Cp，Zp），但我们需要对其进行特殊处理，通过一个新的算符Q，该算符作用于同调类上，使得同调范畴中的每个对象不仅有拓扑结构，还具备一个额外的不变量。。。」

呼。。。。乔喻很满意的看着这个表述，有了这个新的同调范畴，就能更精细地分解曲线的同调群，能让证明常数C的步骤大幅度简化，完美！果然，研究数学让人快乐！

那麽现在新的问题又来了，如何定义这个新的算符Q，乔喻感觉又卡壳了。。

MMPD，不管了！想不通先把这个放一边，反正要证明常数C，这一个工具还不够。。

于是已经彻底疯癫的乔喻，又开始生造起第二个工具，现在他需要一个新的模糊测度函数去逼近常数C。

」代数曲线P—进模糊测度ufuzzy（Cp）是一种新的测度函数，用于描述代数曲线Cp在p—进几何环境中的模糊性质。其定义如下。。。。